Αρχικά βάζουμε στον κάδο του μίξερ το αλεύρι, τη ζάχαρη, τη μαγιά και τη βανίλια και τα ανακατεύουμε.
Λιώνουμε 150 γρ. από το βούτυρο και το αφήνουμε να χλιαρύνει. Το υπόλοιπο το κόβουμε σε κομματάκια και το αφήνουμε να μαλακώσει σε θερμοκρασία δωματίου.
Ζεσταίνουμε το ρούμι και προσθέτουμε μέσα τις σταγόνες σοκολάτας.
Βάζουμε σε ένα μπολ τα αυγά, το λιωμένο βούτυρο, το γάλα και το αλάτι και τα χτυπάμε με ένα σύρμα. Στη συνέχεια τα ρίχνουμε μέσα στο μείγμα από το αλεύρι και ζυμώνουμε με το μίξερ για 7 έως 9 λεπτά, μέχρι να έχουμε μια μαλακή και ελαστική ζύμη, σαν τσίχλα.
Συνεχίζοντας το ανακάτεμα με το μίξερ, προσθέτουμε τα κομματάκια από το μαλακό βούτυρο και αφήνουμε να ζυμωθεί για 1 λεπτό ακόμη μέχρι να απορροφηθεί.
Σε ένα μεγάλο βουτυρωμένο σκεύος βάζουμε τη μαλακή ζύμη και την αφήνουμε σε ένα ζεστό μέρος (στο χλιαρό φούρνο ή κοντά στο καλοριφέρ) για περίπου 1 ώρα να διπλασιαστεί. Στη συνέχεια την ξαναβάζουμε στο μίξερ και προσθέτουμε τις σταγόνες σοκολάτας. Ζυμώνουμε για 2-3 λεπτά σε μεσαία ταχύτητα.
Βουτάμε τα χέρια σε λιωμένο βούτυρο και βγάζουμε τη ζύμη στον πάγκο μας να ξεφουσκώσει. Με γρήγορες κινήσεις την αναδιπλώνουμε.
Χρησιμοποιούμε μια μεγάλη φόρμα μιας χρήσεως για πανετόνε ή χωρίζουμε τη ζύμη στα δύο και επιλέγουμε δυο μικρές φόρμες 15x13 εκ. Φροντίζουμε να τις βουτυρώσουμε πολύ καλά και βάζουμε μέσα τη ζύμη η οποία πρέπει να καλύπτει το 1/3 του σκεύους.
Αφήνουμε τη ζύμη να διπλασιαστεί ξανά για περίπου 1.30 ώρα σε ζεστό, σβηστό, φούρνο.
Προθερμαίνουμε πολύ καλά το φούρνο μας στους 175 ºC στον αέρα. Μόλις ζεσταθεί πολύ καλά, αλείφουμε απαλά την επιφάνεια των πανετόνε με ασπράδι αυγού και τα βάζουμε μέσα να ψηθούν για 40 λεπτά. Προσοχή, δεν πρέπει να ανοίξουμε το φούρνο μας. Θα είναι έτοιμα μόλις ξεχειλίσουν από τη φόρμα και ροδοκοκκινίσει η επιφάνειά τους.
Μόλις ψηθούν τα πανετόνε, τα βγάζουμε από το φούρνο και τα αλείφουμε με φρέσκο βούτυρο για να παραμείνουν μαλακά. Αν μπορούμε τα κρεμάμε ανάποδα για να κρυώσουν και να στεγνώσουν σωστά
Για την επικάλυψη, λιώνουμε σε μπεν μαρί ή στο φούρνο μικροκυμάτων τις κουβερτούρες και τις περιχύνουμε πάνω στο πανετόνε μας.